Calcular la integral
\[ \int \sin^3 x \; dx \]
Escribe el integrando \( \sin^3 x \) como un producto de \( \sin^2 x \) y \( \sin x \)
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int \sin^2 x \sin x \; dx\]
Usa la identidad trigonométrica \( \; \sin^2 x = 1 - \cos^2 x \) para escribir la integral como
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int (1 - \cos^2 x) \sin x \; dx\]
Expande \( (1 - \cos^2 x) \sin x \) y escribe
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int \sin x \; dx - \int \cos^2 x \sin x \; dx \]
Integración por Sustitución: Sea \( u = \cos x \) y por lo tanto \( \dfrac{du}{dx} = - \sin x \) o \( du = - \sin x \; dx \) y sustituye para obtener
\[ \int \sin^3 x \; dx = \int \sin x \; dx + \int u^2 \; du \]
Usa fórmulas de integrales para evaluar la integral anterior y escribe
\[ \int \sin^3 x \; dx = - \cos x + \dfrac{1}{3} u^3 + c \]
Sustituye de nuevo \( u = \cos x \) para encontrar la respuesta final
\[ \boxed { \int \sin^3 x \; dx = - \cos x + \dfrac{1}{3} \cos^3 x + c } \]
